L'Infini des chiffres

1 - Une histoire de boites ...

Bon, je ne vous apprend rien en vous disant que 1 est plus petit que neuf, que 11 est plus grand que neuf, que 11 est plus petit que 99, que 111 est plus grand que 99 ... Maintenant, la question est de savoir si ∞₁ est plus petit que ∞₂ quand on a :

∞₁=1111111111111[...]

∞₂=9999999999999[...]

Certains auront tendance à penser que ∞₂est plus grand que ∞₁, et pourtant, en y réfléchissant, on arrive à la démarche suivante :

Pour comparer deux nombres, on regarde le nombre de chiffres qu'ils ont. S'ils ont le même nombre de chiffres, alors on regarde le dernier chiffre de chaque nombre : lequel est le plus grand.

Mais pour comparer ∞₁et ∞₂, en appliquant se raisonnement, on obtient :

∞₁ et ∞₂ont une infinité de chiffres. On peut alors considérer qu'ils ont le même nombre de chiffres. Donc on regarde le dernier chiffre de chaque nombre ... Et là, inutile d'expliquer que c'est impossible.

Donc on peut dire de ∞₁et ∞₂ qu'ils sont deux infinis différents. Aucun n'est plus grand que l'autre, et aucun n'est égal à l'autre.

2 - Ca se complique ...

∞+1= ?

Voilà la question.

Nous allons raisonner pour trouver la réponse, qui consiste à dire ∞+1>∞. Malheureusement, on a vu que ∞₁et ∞₂ étaient juste différents, et qu'aucun rapport de grandeur n'existait entre eux.

Mais au-delà de ça, il faut penser que pour ajouter 1, on procède comme suit :

1 5 4

+ 1

1 5 5

On ajoute 1 au dernier chiffre, vu que c'est une addition. Et chercher le dernier chiffre de l'infini, c'est bien sûr impossible.

Donc en pratique, on ne peut pas ajouter 1 à ∞. En théorie par contre, on peut dire que ∞+1 n'est ni plus grand, ni plus petit, ni égal à ∞.

∞-1= ?

Bon, ici, c'est le même raisonnement qu'au-dessus. Seulement, ce n'est pas si simple que l'addition ... De fait, on pourrais penser que ∞-1 est égal à l'infini. D'ailleurs, c'est le seul raisonnement qui tient la route, car si ∞-1 n'était pas égal à l'infini, cela voudrait dire qu'en ajoutant 1 à un nombre, on obtienne l'inifini ...

Seulement voilà ! Si ∞-1 est égal à l'infini, alors on peut en déduire que ∞-5 est égal à l'infini, que ∞-1000 est égal à l'infini ... par conséquent en soustrayant un nombre fini à l'infini, on obtient toujours l'infini.

2∞= ?

Voici un petit paradoxe de l'infini :

Un nombre entier multiplié par deux donne le double de l'entier, et donc un nombre plus grand.

L'inifini multiplié par deux donne le double de l'infini, différent du premier, mais pas plus grand (voir plus haut).

Doit-on en conclure que ∞ n'est pas un nombre entier ? Pourtant il n'a pas de décimales, donc par définition, c'est un entier.